Chords and Perpendicular Bisectors • Class 9 Mathematics • Ganita Manjari Chapter 5 — I'm Up and Down, and Round and Round
Practice Mode: पहले प्रश्न को खुद solve करने की कोशिश करें। हिंदी में समझें से concept समझें और फिर Solution देखें से diagram, proof और final answer check करें।
Question 1
Can you explain why the converse to Theorem 4 is true, i.e., why does the perpendicular from the centre of a circle to a chord of the circle bisect the chord?
🇮🇳 हिंदी में समझें: Circle का centre O है और AB chord है। Centre O से chord AB पर perpendicular OM खींचा गया है। OA और OB उसी circle की radii हैं, इसलिए OA = OB। OM common side है और M पर दोनों angles 90° हैं। इसलिए दोनों triangles RHS से congruent होंगे और AM = BM मिलेगा।
📐 Step-by-Step Solution:
Diagram — Perpendicular from Centre to Chord
Visual idea: OM ⟂ AB और OA = OB के कारण दो right triangles बनते हैं। Congruence से AM = BM साबित होता है।
Given: O centre, AB chord और OM ⟂ AB.
To Prove: AM = BM.
Construction: OA और OB join करें।
OA = OB [Radii of the same circle]
OM = OM [Common side]
∠OMA = ∠OMB = 90° [OM ⟂ AB]
By RHS Congruence: △OMA ≅ △OMB.
AM = BM [CPCT]
✅ Final Answer: Centre से chord पर खींचा गया perpendicular chord को bisect करता है।
Question 2
An isosceles triangle ABC is inscribed in a circle, with AB = AC. Show that the altitude from A to BC passes through the centre of the circle.
🇮🇳 हिंदी में समझें: AB = AC होने से triangle isosceles है। इसलिए A से BC पर खींची गई altitude BC को दो बराबर भागों में बाँटती है। यानी AD, chord BC का perpendicular bisector है। Circle के किसी chord का perpendicular bisector centre से होकर गुजरता है। इसलिए AD centre O से होकर जाएगी।
📐 Step-by-Step Solution:
Diagram — Isosceles Triangle and Altitude
Visual idea: AD base BC की perpendicular bisector है। उसी line पर circle का centre O भी है। इसलिए A, O और D एक ही line पर हैं।
Given: △ABC is inscribed in a circle and AB = AC.
Let: AD ⟂ BC.
BD = DC [Altitude from vertex of an isosceles triangle bisects the base]
Main reasoning: D, chord BC का midpoint है; इसलिए AD chord BC का perpendicular bisector है। Chord का perpendicular bisector centre O से गुजरता है। इसलिए O, AD पर होगा।
A, O, D are collinear.
✅ Final Answer: A से BC पर खींची गई altitude circle के centre से होकर गुजरती है।
Question 3
Two parallel chords of lengths 6 cm and 8 cm are on opposite sides of the centre of a circle. If the radius of the circle is 5 cm, find the distance between the midpoints of the chords.
🇮🇳 हिंदी में समझें: Centre से chord पर perpendicular chord को bisect करता है। 6 cm chord का half 3 cm और 8 cm chord का half 4 cm है। Radius 5 cm होने से Pythagoras लगाकर centre से पहली chord की दूरी 4 cm और दूसरी की 3 cm मिलती है। Opposite sides पर होने से दोनों distances जोड़ेंगे: 4 + 3 = 7 cm.
📐 Step-by-Step Solution:
Diagram — Parallel Chords on Opposite Sides
Visual idea: 6 cm chord की midpoint M centre से 4 cm दूर और 8 cm chord की midpoint N centre से 3 cm दूर है। Centre दोनों के बीच है, इसलिए MN = 4 + 3.
Given: r = 5 cm, AB = 6 cm, CD = 8 cm.
Step 1: 6 cm chord के लिए half-chord = 3 cm.
OM = √(5² − 3²) = √16 = 4 cm
Step 2: 8 cm chord के लिए half-chord = 4 cm.
ON = √(5² − 4²) = √9 = 3 cm
Step 3: Chords opposite sides पर हैं.
MN = OM + ON = 4 + 3 = 7 cm
Important: Longer chord centre के closer होता है। इसलिए 8 cm chord की distance 3 cm और 6 cm chord की distance 4 cm है।