Chords and Isosceles Triangles • Class 9 Mathematics • Ganita Manjari Chapter 5 — I'm Up and Down, and Round and Round
Practice Mode: पहले प्रश्न को खुद समझने और proof लिखने की कोशिश करें।
हिंदी में समझें से concept समझें और फिर Solution देखें से diagram, proof और final answer check करें।
Question 1
Show that the triangle formed by a chord and the centre of the circle is isosceles.
🇮🇳 हिंदी में समझें:
मान लीजिए circle का centre O है और AB एक chord है। Chord के दोनों endpoints A और B को centre O से जोड़ने पर triangle OAB बनता है।
A और B दोनों circle पर हैं, इसलिए OA और OB उसी circle की radii हैं। एक ही circle की सभी radii बराबर होती हैं, इसलिए OA = OB।
जिस triangle की दो sides बराबर होती हैं, वह isosceles triangle होता है।
📐 Step-by-Step Solution:
Diagram — Chord AB and Centre O
Observe: OA and OB are both radii of the same circle. The small matching marks show the two equal sides.
Given: AB is a chord of a circle with centre O. To prove: △OAB is isosceles.
Step 1: A और B circle के circumference पर हैं। इसलिए OA और OB दोनों उसी circle की radii हैं।
OA = OB [Radii of the same circle]
Step 2: Triangle OAB में two sides OA और OB equal हैं।
✅ Therefore, △OAB is an isosceles triangle. इसके base angles भी बराबर होंगे: ∠OAB = ∠ABO.
Question 2
Show that if two such isosceles triangles (occurring in the previous question) have equal base length, they are congruent to each other.
🇮🇳 हिंदी में समझें:
एक ही circle में दो chords AB और DE लें और मान लें कि उनकी lengths बराबर हैं: AB = DE।
दोनों chords के endpoints को centre O से जोड़ने पर दो triangles बनेंगे: △OAB और △ODE।
दोनों triangles में two sides radii हैं, इसलिए OA = OD और OB = OE। तीसरी sides AB और DE भी given equal हैं। इसलिए तीनों corresponding sides equal हैं और SSS congruence से दोनों triangles congruent हैं।
📐 Step-by-Step Solution:
Diagram — Two Equal Chords and Two Congruent Triangles
Matching idea: OA↔OD, OB↔OE and AB↔DE. All three pairs of corresponding sides are equal.
Given: AB and DE are chords of the same circle with centre O, and AB = DE. To prove: △OAB ≅ △ODE.
Step 1: OA और OD same circle की radii हैं।
OA = OD [Radii of the same circle]
Step 2: OB और OE भी same circle की radii हैं।
OB = OE [Radii of the same circle]
Step 3: Chords की lengths equal दी गई हैं।
AB = DE [Given]
Step 4: अब दोनों triangles की तीनों corresponding sides equal हैं।
OA = OD, OB = OE, AB = DE
✅ Therefore, △OAB ≅ △ODE by SSS congruence. यानी equal chords same circle के centre पर equal-side triangles बनाते हैं जो congruent होते हैं।
⭐ Exercise 5.2 Quick Revision:
1. Chord के endpoints को centre से जोड़ने पर triangle बनता है।
2. उस triangle की two sides radii होती हैं, इसलिए triangle isosceles होता है।
3. Equal chords ⇒ corresponding centre-chord triangles की तीनों sides equal।
4. Three equal corresponding sides ⇒ SSS congruence।