I'm Up and Down, and Round and Round • Class 9 Mathematics • Ganita Manjari
Practice Mode: पहले question को खुद solve करने की कोशिश करें। समझ न आए तो हिंदी में समझें पर click करें। उसके बाद Solution देखें से पूरा step-by-step solution check करें।
Question 1
Use the Baudhāyana–Pythagoras theorem to show why Theorem 6 must be true.
Theorem 6: Chords of a circle having the same length are at the same distance from the centre.
हिंदी में समझें:दो equal chords लें। Centre से दोनों chords पर perpendicular खींचें। Centre से chord तक की perpendicular distance और chord का आधा भाग मिलकर right triangle बनाते हैं। दोनों chords बराबर होने के कारण उनके half-chords भी बराबर होंगे, और दोनों radii भी बराबर हैं। इसलिए Pythagoras theorem लगाने पर दोनों perpendicular distances बराबर निकलेंगी।
Step-by-Step Solution:
Equal Chords → Equal Distances
Given: AB = CD. OM ⟂ AB और ON ⟂ CD.
Step 1 — Perpendicular bisects the chord:
OM ⟂ AB ⇒ M, AB का midpoint है, इसलिए AM = AB/2.
ON ⟂ CD ⇒ N, CD का midpoint है, इसलिए CN = CD/2.
AB = CD होने से AM = CN.
Step 2 — दोनों radii बराबर हैं:
OA = OC = r
Step 3 — Pythagoras theorem:
OA² = OM² + AM² r² = OM² + AM²
और दूसरे right triangle में:
OC² = ON² + CN² r² = ON² + CN²
क्योंकि r = r और AM = CN,
OM² = ON² OM = ON
Final Answer: Equal chords AB और CD centre से equal distance पर हैं। Hence, Theorem 6 proved.
Question 2
Consider Fig. 5.15. If CE is perpendicular to AB, CH is perpendicular to GF, and CE = CH, show that AB = GF.
हिंदी में समझें:Centre C से दोनों chords पर perpendicular distances equal दी गई हैं। Centre से chord पर खींची गई perpendicular chord को दो बराबर हिस्सों में बाँटती है। फिर दोनों right triangles में radius equal और perpendicular side equal होने से triangles congruent होंगे। इसलिए दोनों half-chords और फिर पूरी chords बराबर होंगी।
Step-by-Step Solution:
Equal Perpendicular Distances → Equal Chords
Given: CE ⟂ AB, CH ⟂ GF और CE = CH.
Step 1: Centre की perpendicular chord को bisect करती है। इसलिए AE = EB और GH = HF.
Step 2: Consider right triangles △CEA and △CHG.
CA = CG क्योंकि दोनों same circle की radii हैं।
CE = CH (given).
∠CEA = ∠CHG = 90°.
इसलिए triangles RHS से congruent हैं।
Step 3: Corresponding sides equal होंगे:
AE = GH
और क्योंकि AE = AB/2 तथा GH = GF/2,
AB/2 = GF/2 AB = GF
Final Answer:AB = GF. Hence proved.
Question 3
Solve the previous question using the Baudhāyana–Pythagoras theorem.
हिंदी में समझें:यह वही Question 2 है, लेकिन इस बार congruence की जगह Pythagoras theorem से proof करना है। Equal radius और equal perpendicular distance के कारण दोनों right triangles में half-chords बराबर निकलेंगे।
Step-by-Step Solution:
Pythagoras Method
Given: CE ⟂ AB, CH ⟂ GF और CE = CH.
Centre की perpendicular chord को bisect करती है, इसलिए:
AE = AB/2 GH = GF/2
और same circle में:
CA = CG = r
Step 1 — Triangle CAE में:
CA² = CE² + AE² r² = CE² + AE²
Step 2 — Triangle CGH में:
CG² = CH² + GH² r² = CH² + GH²
Step 3 — Compare:
r² दोनों में same है और CE = CH दिया है। इसलिए:
AE² = GH² AE = GH
अब AE = AB/2 और GH = GF/2:
AB/2 = GF/2 AB = GF
Final Answer:AB = GF. Hence proved using Baudhāyana–Pythagoras theorem.
Exercise 5.4 Complete ✅
Great Work! 🎉
आपने Exercise 5.4 के सभी questions complete कर लिए हैं। अब Exercise 5.5 पर जा सकते हैं।