Circles, Circumcircle and Circumcentre • Class 9 Mathematics • Ganita Manjari Chapter 5 — I'm Up and Down, and Round and Round
Practice Mode: पहले प्रश्न को खुद बनाने/हल करने की कोशिश करें।
हिंदी में समझें से concept समझें और फिर Solution देखें से पूरा construction, diagram और reasoning check करें।
Question 1
Draw ΔABC with AB = 5 cm, ∠A = 70° and ∠B = 60°. Draw the circumcircle of ΔABC. Is the centre inside or outside the triangle?
🇮🇳 हिंदी में समझें:
पहले 5 cm की side AB बनानी है। फिर A पर 70° और B पर 60° के angles बनाकर दोनों rays को मिलाएँ; इससे C मिलेगा और triangle ABC तैयार होगा।
Circumcentre O पाने के लिए triangle की दो sides के perpendicular bisectors बनाते हैं। उनके intersection से O मिलता है।
यहाँ तीसरा angle 50° आता है और तीनों angles 90° से छोटे हैं, इसलिए triangle acute-angled है। Acute triangle का circumcentre अंदर होता है।
📐 Step-by-Step Solution:
Construction:
AB = 5 cm का line segment draw करें।
A पर AB के साथ 70° का ray बनाएं।
B पर BA के साथ 60° का ray बनाएं।
दो rays जहाँ मिलें, उसे C नाम दें। अब ΔABC तैयार है।
AB और AC (या किसी दो sides) के perpendicular bisectors बनाएं। उनका intersection O circumcentre है।
O को centre और OA को radius लेकर circumcircle draw करें।
Geometry Diagram — Acute Triangle and Circumcentre
Diagram idea: OA, OB and OC are equal radii of the circumcircle. The circumcentre O lies inside an acute triangle.
∠C = 180° − (70° + 60°) = 50°
Reason: ∠A = 70°, ∠B = 60° और ∠C = 50° — तीनों angles < 90°. इसलिए triangle acute-angled है।
✅ Final Answer: Circumcentre O triangle के अंदर होगा।
Question 2
Draw ΔABC with AB = 5 cm, ∠A = 100°, AC = 4 cm. Draw the circumcircle of ΔABC. Is the centre inside or outside the triangle?
🇮🇳 हिंदी में समझें:
इस बार A का angle 100° है, जो 90° से बड़ा है। इसलिए triangle obtuse-angled है। Obtuse triangle में circumcentre triangle के बाहर होता है।
📐 Step-by-Step Solution:
Construction:
AB = 5 cm draw करें।
A पर 100° का angle construct करें।
इस ray पर AC = 4 cm mark करके C प्राप्त करें।
BC join करके ΔABC पूरा करें।
AB और AC की perpendicular bisectors draw करें। उनका intersection O circumcentre है।
O को centre और OA को radius लेकर circumcircle draw करें।
Geometry Diagram — Obtuse Triangle and Circumcentre
Observe: the circumcentre is outside the obtuse triangle. The circumcircle still passes through A, B and C.
∠A = 100° > 90°
Reason: ΔABC is obtuse-angled at A. इसलिए इसका circumcentre triangle के बाहर स्थित होता है।
✅ Final Answer: Circumcentre O triangle के बाहर होगा।
Question 3
Draw ΔABC, with AB = 6 cm, BC = 7 cm and CA = 7 cm. Draw the circumcircle of ΔABC. Let the circumcentre be O. Measure OA, OB, OC.
🇮🇳 हिंदी में समझें:
6 cm, 7 cm, 7 cm sides से triangle बनाइए। फिर perpendicular bisectors से circumcentre O निकालिए और O को centre रखकर circumcircle बनाइए। चूँकि A, B और C एक ही circle पर हैं, OA, OB और OC तीनों radii हैं और इसलिए बराबर होंगे।
📐 Step-by-Step Solution:
Construction:
AB = 6 cm draw करें।
A से radius 7 cm और B से radius 7 cm लेकर arcs draw करें। उनके intersection को C नाम दें।
AC और BC join करके ΔABC बनाएँ।
AB और AC की perpendicular bisectors draw करें। उनका intersection O circumcentre है।
O को centre और OA को radius लेकर circumcircle draw करें।
Geometry Diagram — Circumcircle of 6 cm, 7 cm, 7 cm Triangle
The three segments OA, OB and OC are radii of the same circle, so their lengths are equal.
s = (6 + 7 + 7) / 2 = 10 cm
Area = √[10 × 4 × 3 × 3] = 6√10 cm²
R = abc / (4Δ) = (6 × 7 × 7) / (4 × 6√10) = 49/(4√10) ≈ 3.87 cm
Measurement: Drawing/protractor/ruler accuracy के अनुसार actual measured value लगभग 3.9 cm आ सकती है। इसलिए OA, OB और OC लगभग समान measure होने चाहिए।
✅ Final Answer:OA = OB = OC ≈ 3.87 cm (approximately 3.9 cm on a carefully drawn figure).
Question 4
What is the least possible radius of a circle through two points A and B?
🇮🇳 हिंदी में समझें:
दो fixed points A और B से होकर जाने वाले circle का radius जितना छोटा हो सकता है, वह तब होगा जब AB खुद circle का diameter बन जाए। तब centre O, AB के exactly midpoint पर होगा और radius = AB का आधा होगा।
📐 Step-by-Step Solution:
Minimum Radius — AB is the Diameter
Step 1: Centre O ऐसा point होना चाहिए जिससे OA = OB = r हो।
Step 2: Minimum radius के लिए O को A और B के बीच exactly midpoint पर रखना होगा।
Step 3: तब A और B circle के opposite ends होंगे, यानी AB diameter होगा।
Diameter = 2 × Radius AB = 2r Therefore, r = AB / 2
✅ Final Answer: Two points A और B से होकर गुजरने वाले circle का least possible radius AB/2 है। यह तब होता है जब AB diameter हो।