यह chapter perimeter और area को केवल formulas की तरह नहीं, बल्कि shapes को
measure करने और formulas को समझने/derive करने के रूप में develop करता है।
Flow roughly ऐसा है: perimeter → circle circumference → π → arc length →
rectangle/parallelogram/triangle areas → Heron's formula → circumcircle और
incircle → Brahmagupta's formula → squaring a rectangle → circle, sector और segment।
1. Perimeter and Area
Perimeter किसी closed figure की boundary की कुल length है।
Area figure के अंदर enclosed region का measurement है।
Perimeter Unit: cm, m, km आदि।
Area Unit: cm², m², km² आदि।
Conversion 1 m² = 10,000 cm².
Square: P = 4a
Rectangle: P = 2(a+b)
2. Circumference of a Circle
Circle का perimeter उसका circumference कहलाता है। यदि diameter D और radius r है:
C = πD = 2πr
किसी भी circle के लिए C/D ratio एक constant होता है। इसी constant को π कहते हैं।
Circle: Radius and Diameter
3. Why π is Irrational
π का decimal expansion समाप्त नहीं होता और repeating pattern में नहीं आता। Chapter में rational और irrational numbers की idea को π के साथ जोड़ा गया है।
Student takeaway: Practical calculations में π को अक्सर 22/7 या 3.14 के रूप में approximate किया जाता है; exact symbolic work में π ही रखा जाता है।
4. Arc Length
Circle के centre पर θ° angle द्वारा subtended arc, पूरे circumference का θ/360 हिस्सा होता है।
Arc Length = 2πr × θ/360°
Full circle = 360° ; Semicircle = 180° ; Quarter circle = 90°
5. Perimeter of Sector and Curved Shapes
Sector का perimeter केवल arc length नहीं है। इसमें दो radii भी जुड़ती हैं।
Perimeter of sector = Arc length + 2r
Tip: Composite curved shapes में केवल बाहरी boundary trace करें। अंदर की common edges perimeter में तभी आएँगी जब वे boundary का हिस्सा हों।
6. Area of Rectangle
Area = length × breadth
Rectangle की area unit squares से भी समझी जा सकती है: जितने unit squares पूरी shape को cover करें, उतना area।
7. Area of a Parallelogram
Parallelogram को cut और rearrange करके rectangle बनाया जा सकता है; base वही रहता है और perpendicular height वही रहती है।
Area = base × height = bh
Key Result: Parallelogram का area adjacent sides की lengths से अकेले तय नहीं होता; angle बदलने से perpendicular height बदल सकती है।
8. Area of a Triangle
Triangle को same base और height वाले parallelogram का आधा समझा जा सकता है।
Area = ½ × base × height
Triangle Area: Half of a Parallelogram Idea
9. Heron's Formula
जब triangle की तीनों sides दी हों और perpendicular height directly available न हो, Heron's formula उपयोगी है।
s = (a+b+c)/2
Area = √[s(s−a)(s−b)(s−c)]
यहाँ s = semiperimeter है।
Exam sequence: पहले तीन sides → semiperimeter → four factors → square root → area.
10. Circumcircle and Incircle of a Triangle
Circumcircle Triangle के तीनों vertices से गुजरने वाला circle।
Circumcentre Perpendicular bisectors का intersection point।
Incircle Triangle की तीनों sides को touch करने वाला circle।
Incircle का centre angle bisectors के intersection से मिलता है।
11. Brahmagupta's Formula
यदि cyclic quadrilateral की चार sides a, b, c, d हों, तो semiperimeter:
s = (a+b+c+d)/2
Area = √[(s−a)(s−b)(s−c)(s−d)]
Important: यह general quadrilateral के लिए blindly नहीं लगाना चाहिए; chapter में यह cyclic 4-gon के context में दिया गया है।
12. Squaring a Rectangle
Chapter में construction/rearrangement ideas से rectangle और square के equal-area transformations पर चर्चा की जाती है। मुख्य idea है: shape बदल सकती है लेकिन यदि pieces बिना gap/overlap के rearrange किए जाएँ तो area preserve रहता है।
13. Area of a Circle
Area of circle = πr²
Circle की area को छोटे sectors में काटकर rearrange करने की idea से लगभग rectangle बनने लगता है; उसकी width लगभग πr और height r होती है। इसलिए area πr² मिलता है।
14. Area of a Sector
Sector की area पूरे circle की area का θ/360 हिस्सा होती है।
Area of sector = πr² × θ/360°
15. Area of a Segment
Minor segment को sector और triangle के difference से निकाला जा सकता है।
Area of segment = Area of sector − Area of triangle