Class 9 Mathematics • Ganita Manjari • Chapter 3 — The World of Numbers
Exam Focus:
ये questions Chapter 3 के important concepts की extra practice के लिए बनाए गए हैं।
Important:
ये textbook exercises का replacement नहीं हैं। Textbook के exact questions
📝 Exercises card में अलग दिए गए हैं।
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इस page पर कुल 30 Important Questions हैं।
A. The Human Need to Count
A. The Human Need to Count
Important Question 1
Counting and Number Systems
What is meant by one-to-one correspondence? Explain it with a simple everyday example.
आसान हिंदी में:
One-to-one correspondence का मतलब है दो collections की चीज़ों को इस तरह मिलाना कि पहली collection की हर चीज़ के सामने दूसरी collection की ठीक एक चीज़ हो। जैसे 1 student को 1 identity card देना।
हिंदी में Step-by-Step Solution:
One-to-one correspondence का मतलब है दो collections की चीज़ों को इस तरह मिलाना कि पहली collection की हर चीज़ के सामने दूसरी collection की ठीक एक चीज़ हो। जैसे 1 student को 1 identity card देना।
✅ ऊपर दिए गए हिंदी steps के अनुसार answer निकालें और calculation को दोबारा check करें।
Important Question 2
Natural Numbers and Prime Numbers
Which type of numbers are 11, 13, 17 and 19? Write the next three numbers of the same type after 19.
आसान हिंदी में:
11, 13, 17 और 19 prime numbers हैं क्योंकि इनमें केवल 1 और स्वयं के अलावा कोई positive factor नहीं है। 19 के बाद अगले prime numbers 23, 29 और 31 हैं।
हिंदी में Step-by-Step Solution:
11, 13, 17 और 19 prime numbers हैं क्योंकि इनमें केवल 1 और स्वयं के अलावा कोई positive factor नहीं है। 19 के बाद अगले prime numbers 23, 29 और 31 हैं।
✅ ऊपर दिए गए हिंदी steps के अनुसार answer निकालें और calculation को दोबारा check करें।
Important Question 3
Closure of Natural Numbers
Are natural numbers closed under subtraction? Give two examples and state the conclusion.
आसान हिंदी में:
किसी set के लिए closure का मतलब है कि operation करने के बाद answer हमेशा उसी set में रहे। Natural Numbers subtraction के लिए closed नहीं हैं, क्योंकि subtraction से negative number आ सकता है।
हिंदी में Step-by-Step Solution:
किसी set के लिए closure का मतलब है कि operation करने के बाद answer हमेशा उसी set में रहे। Natural Numbers subtraction के लिए closed नहीं हैं, क्योंकि subtraction से negative number आ सकता है।
✅ ऊपर दिए गए हिंदी steps के अनुसार answer निकालें और calculation को दोबारा check करें।
Important Question 4
Base-12 Counting
A counting method uses 3 joints on each of four fingers, while the thumb is used as a pointer. How many positions can be counted on one hand, and what base does this suggest?
आसान हिंदी में:
चार fingers में हर finger के 3 joints मानें तो 4 × 3 = 12 positions मिलती हैं। इसलिए यह counting method base-12 से जुड़ता है।
हिंदी में Step-by-Step Solution:
चार fingers में हर finger के 3 joints मानें तो 4 × 3 = 12 positions मिलती हैं। इसलिए यह counting method base-12 से जुड़ता है।
✅ ऊपर दिए गए हिंदी steps के अनुसार answer निकालें और calculation को दोबारा check करें।
B. The Revolution of Śhūnya and Integers
Important Question 5
Role of Zero
Why is zero important in the positional number system? Give one example.
आसान हिंदी में:
Zero केवल 'कुछ नहीं' बताने के लिए ही नहीं, बल्कि place value में placeholder की तरह भी काम करता है। उदाहरण के लिए 205 में zero बताता है कि tens place पर कोई संख्या नहीं है।
हिंदी में Step-by-Step Solution:
Zero केवल 'कुछ नहीं' बताने के लिए ही नहीं, बल्कि place value में placeholder की तरह भी काम करता है। उदाहरण के लिए 205 में zero बताता है कि tens place पर कोई संख्या नहीं है।
✅ ऊपर दिए गए हिंदी steps के अनुसार answer निकालें और calculation को दोबारा check करें।
Important Question 6
Integers on a Number Line
Arrange −7, −2, 0, 4 and 9 from left to right on a number line.
आसान हिंदी में:
Number line पर छोटी संख्या बाईं ओर और बड़ी संख्या दाईं ओर होती है। इसलिए दिए गए numbers को उनके numerical order में बाएँ से दाएँ रखना है।
हिंदी में Step-by-Step Solution:
Number line पर छोटी संख्या बाईं ओर और बड़ी संख्या दाईं ओर होती है। इसलिए दिए गए numbers को उनके numerical order में बाएँ से दाएँ रखना है।
✅ ऊपर दिए गए हिंदी steps के अनुसार answer निकालें और calculation को दोबारा check करें।
Important Question 7
Addition of Integers
Calculate (−18) + 25 − 7.
आसान हिंदी में:
Expression को ध्यान से left to right solve करें और positive तथा negative signs पर ध्यान रखें।
हिंदी में Step-by-Step Solution:
Expression को ध्यान से left to right solve करें और positive तथा negative signs पर ध्यान रखें।
✅ ऊपर दिए गए हिंदी steps के अनुसार answer निकालें और calculation को दोबारा check करें।
Important Question 8
Brahmagupta's Rules
Using the sign rules for integers, evaluate: (−12) × (−5) and (−48) ÷ 6.
आसान हिंदी में:
Negative × Negative का result positive होता है। Negative ÷ Positive का result negative होता है।
हिंदी में Step-by-Step Solution:
Negative × Negative का result positive होता है। Negative ÷ Positive का result negative होता है।
✅ ऊपर दिए गए हिंदी steps के अनुसार answer निकालें और calculation को दोबारा check करें।
Important Question 9
Integer Expression
A bank account has a balance of −₹750. ₹1200 is deposited. What is the new balance?
आसान हिंदी में:
Deposit account का balance बढ़ाता है, इसलिए −₹750 में ₹1200 जोड़ेंगे।
हिंदी में Step-by-Step Solution:
Deposit account का balance बढ़ाता है, इसलिए −₹750 में ₹1200 जोड़ेंगे।
✅ ऊपर दिए गए हिंदी steps के अनुसार answer निकालें और calculation को दोबारा check करें।
C. Rational Numbers
Important Question 10
Definition of Rational Number
What is a rational number? Give three examples and state the condition on the denominator.
आसान हिंदी में:
Rational number को p/q के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ p और q integers हैं और q zero नहीं हो सकता।
हिंदी में Step-by-Step Solution:
Rational number को p/q के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ p और q integers हैं और q zero नहीं हो सकता।
✅ ऊपर दिए गए हिंदी steps के अनुसार answer निकालें और calculation को दोबारा check करें।
Important Question 11
Equivalent Rational Numbers
Show that 3/4 and 15/20 represent the same rational number.
आसान हिंदी में:
3/4 के numerator और denominator दोनों को 5 जैसे एक ही non-zero number से multiply करने पर 15/20 मिलता है। इसलिए दोनों fractions बराबर हैं।
हिंदी में Step-by-Step Solution:
3/4 के numerator और denominator दोनों को 5 जैसे एक ही non-zero number से multiply करने पर 15/20 मिलता है। इसलिए दोनों fractions बराबर हैं।
✅ ऊपर दिए गए हिंदी steps के अनुसार answer निकालें और calculation को दोबारा check करें।
Important Question 12
Addition of Rational Numbers
Find 5/6 + 7/9.
आसान हिंदी में:
Denominator को समान बनाना होगा। 6 और 9 का LCM 18 है, इसलिए दोनों fractions को denominator 18 में बदलकर जोड़ेंगे।
हिंदी में Step-by-Step Solution:
Denominator को समान बनाना होगा। 6 और 9 का LCM 18 है, इसलिए दोनों fractions को denominator 18 में बदलकर जोड़ेंगे।
✅ ऊपर दिए गए हिंदी steps के अनुसार answer निकालें और calculation को दोबारा check करें।
Important Question 13
Multiplication of Rational Numbers
Find (−4/7) × (21/10) and write the answer in simplest form.
आसान हिंदी में:
Numerators को आपस में और denominators को आपस में multiply करें। फिर common factors से fraction को simplest form में लाएँ।
हिंदी में Step-by-Step Solution:
Numerators को आपस में और denominators को आपस में multiply करें। फिर common factors से fraction को simplest form में लाएँ।
✅ ऊपर दिए गए हिंदी steps के अनुसार answer निकालें और calculation को दोबारा check करें।
Important Question 14
Division of Rational Numbers
Evaluate 5/8 ÷ (−15/16).
आसान हिंदी में:
किसी non-zero fraction से divide करने का मतलब उसके reciprocal से multiply करना है। यानी divisor को उलटकर multiplication करें।
हिंदी में Step-by-Step Solution:
किसी non-zero fraction से divide करने का मतलब उसके reciprocal से multiply करना है। यानी divisor को उलटकर multiplication करें।
✅ ऊपर दिए गए हिंदी steps के अनुसार answer निकालें और calculation को दोबारा check करें।
Important Question 15
Distributive Property
Verify the distributive property for (2/3)(5/7 − 1/7).
आसान हिंदी में:
पहले left side को सीधे calculate करें। फिर right side में 2/3 को bracket के दोनों terms पर distribute करके calculate करें। दोनों बराबर आने चाहिए।
हिंदी में Step-by-Step Solution:
पहले left side को सीधे calculate करें। फिर right side में 2/3 को bracket के दोनों terms पर distribute करके calculate करें। दोनों बराबर आने चाहिए।
✅ ऊपर दिए गए हिंदी steps के अनुसार answer निकालें और calculation को दोबारा check करें।
Important Question 16
Rational Numbers Between Two Numbers
Find three rational numbers between 1/3 and 2/3.
आसान हिंदी में:
एक common denominator लें और उन fractions को चुनें जिनकी values 1/3 और 2/3 के बीच हों।
हिंदी में Step-by-Step Solution:
एक common denominator लें और उन fractions को चुनें जिनकी values 1/3 और 2/3 के बीच हों।
✅ ऊपर दिए गए हिंदी steps के अनुसार answer निकालें और calculation को दोबारा check करें।
D. Rational Numbers on the Number Line
Important Question 17
Plotting a Rational Number
Explain how you would represent 5/4 on a number line.
आसान हिंदी में:
5/4 को 1 + 1/4 के रूप में लिख सकते हैं। Number line पर 1 और 2 के बीच के interval को 4 बराबर भागों में बाँटें और 1 के बाद पहला भाग mark करें।
हिंदी में Step-by-Step Solution:
5/4 को 1 + 1/4 के रूप में लिख सकते हैं। Number line पर 1 और 2 के बीच के interval को 4 बराबर भागों में बाँटें और 1 के बाद पहला भाग mark करें।
✅ ऊपर दिए गए हिंदी steps के अनुसार answer निकालें और calculation को दोबारा check करें।
Important Question 18
Absolute Value
Find the absolute values of −11/6 and 7/3. What does absolute value represent on a number line?
आसान हिंदी में:
Absolute value किसी number की zero से दूरी बताता है। दूरी कभी negative नहीं होती, इसलिए answer हमेशा positive या zero होता है।
हिंदी में Step-by-Step Solution:
Absolute value किसी number की zero से दूरी बताता है। दूरी कभी negative नहीं होती, इसलिए answer हमेशा positive या zero होता है।
✅ ऊपर दिए गए हिंदी steps के अनुसार answer निकालें और calculation को दोबारा check करें।
Important Question 19
Ordering Rational Numbers
Arrange −3/4, 1/2, −1/3 and 5/6 in ascending order.
आसान हिंदी में:
Common denominator, जैसे 12, लेकर सभी fractions को equivalent fractions में बदलें और फिर numerators compare करें।
हिंदी में Step-by-Step Solution:
Common denominator, जैसे 12, लेकर सभी fractions को equivalent fractions में बदलें और फिर numerators compare करें।
✅ ऊपर दिए गए हिंदी steps के अनुसार answer निकालें और calculation को दोबारा check करें।
E. Irrational Numbers
Important Question 20
Rational vs Irrational
State whether √2, 7/11, 0.125 and π are rational or irrational. Give a reason.
आसान हिंदी में:
Integer के fractions और terminating decimals rational होते हैं। √2 और π irrational हैं क्योंकि उन्हें p/q के रूप में नहीं लिखा जा सकता।
हिंदी में Step-by-Step Solution:
Integer के fractions और terminating decimals rational होते हैं। √2 और π irrational हैं क्योंकि उन्हें p/q के रूप में नहीं लिखा जा सकता।
✅ ऊपर दिए गए हिंदी steps के अनुसार answer निकालें और calculation को दोबारा check करें।
Important Question 21
Proof Idea for √2
Why is √2 not a rational number? State the main idea of the contradiction proof.
आसान हिंदी में:
मान लें कि √2 = p/q है और fraction lowest form में है। Squaring करने पर p² = 2q² मिलता है, जिससे p even और फिर q भी even निकलता है। यह lowest form की condition से contradiction है।
हिंदी में Step-by-Step Solution:
मान लें कि √2 = p/q है और fraction lowest form में है। Squaring करने पर p² = 2q² मिलता है, जिससे p even और फिर q भी even निकलता है। यह lowest form की condition से contradiction है।
✅ ऊपर दिए गए हिंदी steps के अनुसार answer निकालें और calculation को दोबारा check करें।
Important Question 22
Locating √3
Describe a construction idea for representing √3 on the number line.
आसान हिंदी में:
√3 बनाने के लिए 1 और √2 को perpendicular sides मानकर right triangle बनाएं। Pythagorean theorem से hypotenuse √3 मिलेगा। इस length को number line पर transfer कर सकते हैं।
हिंदी में Step-by-Step Solution:
√3 बनाने के लिए 1 और √2 को perpendicular sides मानकर right triangle बनाएं। Pythagorean theorem से hypotenuse √3 मिलेगा। इस length को number line पर transfer कर सकते हैं।
✅ ऊपर दिए गए हिंदी steps के अनुसार answer निकालें और calculation को दोबारा check करें।
Important Question 23
Rational Numbers vs Irrational Numbers
Are rational numbers and irrational numbers both present on the number line? Explain.
आसान हिंदी में:
हाँ। Number line पर rational और irrational दोनों numbers मौजूद होते हैं। दोनों मिलकर real numbers बनाते हैं।
हिंदी में Step-by-Step Solution:
हाँ। Number line पर rational और irrational दोनों numbers मौजूद होते हैं। दोनों मिलकर real numbers बनाते हैं।
✅ ऊपर दिए गए हिंदी steps के अनुसार answer निकालें और calculation को दोबारा check करें।
F. π, Real Numbers and Decimal Expansions
Important Question 24
Meaning of π
What is π in relation to a circle? Why is it called a constant?
आसान हिंदी में:
π किसी circle की circumference और diameter का ratio है। हर circle के लिए यह ratio समान रहता है, इसलिए π एक constant है।
हिंदी में Step-by-Step Solution:
π किसी circle की circumference और diameter का ratio है। हर circle के लिए यह ratio समान रहता है, इसलिए π एक constant है।
✅ ऊपर दिए गए हिंदी steps के अनुसार answer निकालें और calculation को दोबारा check करें।
Important Question 25
Terminating Decimal Test
Without long division, decide whether 13/250 has a terminating decimal expansion. Explain using prime factors.
आसान हिंदी में:
Reduced fraction में अगर denominator के prime factors केवल 2 और 5 हों, तो decimal terminating होता है। 250 = 2 × 5³ है, इसलिए 13/250 का decimal terminating होगा।
हिंदी में Step-by-Step Solution:
Reduced fraction में अगर denominator के prime factors केवल 2 और 5 हों, तो decimal terminating होता है। 250 = 2 × 5³ है, इसलिए 13/250 का decimal terminating होगा।
✅ ऊपर दिए गए हिंदी steps के अनुसार answer निकालें और calculation को दोबारा check करें।
Important Question 26
Repeating Decimal
Decide whether 4/15 has a terminating or repeating decimal expansion and explain why.
आसान हिंदी में:
15 = 3 × 5 है। इसमें 3 भी prime factor है, इसलिए 4/15 का decimal terminate नहीं होगा; यह repeating decimal होगा।
हिंदी में Step-by-Step Solution:
15 = 3 × 5 है। इसमें 3 भी prime factor है, इसलिए 4/15 का decimal terminate नहीं होगा; यह repeating decimal होगा।
✅ ऊपर दिए गए हिंदी steps के अनुसार answer निकालें और calculation को दोबारा check करें।
Important Question 27
Classifying Decimal Expansions
Classify 0.75, 0.272727… and 0.1010010001… as rational or irrational.
आसान हिंदी में:
Terminating decimal और repeating decimal rational होते हैं। Non-terminating और non-repeating decimal irrational होता है।
हिंदी में Step-by-Step Solution:
Terminating decimal और repeating decimal rational होते हैं। Non-terminating और non-repeating decimal irrational होता है।
✅ ऊपर दिए गए हिंदी steps के अनुसार answer निकालें और calculation को दोबारा check करें।
G. Magic of Cyclic Numbers
Important Question 28
142857 Pattern
Why is 142857 called a cyclic number in the chapter? Show what happens when it is multiplied by 2 and by 3.
आसान हिंदी में:
142857 को cyclic number कहा जाता है क्योंकि कुछ multiplications में वही छह digits अलग cyclic order में दिखाई देते हैं।
हिंदी में Step-by-Step Solution:
142857 को cyclic number कहा जाता है क्योंकि कुछ multiplications में वही छह digits अलग cyclic order में दिखाई देते हैं।
✅ ऊपर दिए गए हिंदी steps के अनुसार answer निकालें और calculation को दोबारा check करें।
Important Question 29
Repeating Decimal of 1/7
Write the repeating decimal expansion of 1/7 and identify its repeating block.
आसान हिंदी में:
1 को 7 से divide करने पर 142857 का repeating block मिलता है। इसलिए 1/7 = 0.142857142857… है।
हिंदी में Step-by-Step Solution:
1 को 7 से divide करने पर 142857 का repeating block मिलता है। इसलिए 1/7 = 0.142857142857… है।
✅ ऊपर दिए गए हिंदी steps के अनुसार answer निकालें और calculation को दोबारा check करें।
G. Real and Imaginary Numbers
Important Question 30
Real vs Imaginary Numbers
Is √−9 a real number? If not, how can it be represented using the imaginary unit i?
आसान हिंदी में:
नहीं। कोई real number ऐसा नहीं है जिसका square −9 हो। i² = −1 होने के कारण √−9 = 3i लिखा जा सकता है।
हिंदी में Step-by-Step Solution:
नहीं। कोई real number ऐसा नहीं है जिसका square −9 हो। i² = −1 होने के कारण √−9 = 3i लिखा जा सकता है।
✅ ऊपर दिए गए हिंदी steps के अनुसार answer निकालें और calculation को दोबारा check करें।
G. Square Root Spiral and Chapter Review
Important Question 31
Square Root Spiral
What is the basic idea behind a square root spiral? How do successive right triangles help create lengths √2, √3, √4 and so on?
आसान हिंदी में:
Square root spiral में एक unit length से शुरुआत करके लगातार right triangles बनाए जाते हैं। हर नया hypotenuse अगली square-root length देता है, जैसे √2, फिर √3, फिर √4।
हिंदी में Step-by-Step Solution:
Square root spiral में एक unit length से शुरुआत करके लगातार right triangles बनाए जाते हैं। हर नया hypotenuse अगली square-root length देता है, जैसे √2, फिर √3, फिर √4।
✅ ऊपर दिए गए हिंदी steps के अनुसार answer निकालें और calculation को दोबारा check करें।
H. Mixed Examination Practice
Important Question 32
Number Sets and Classification
Classify each number as natural, integer, rational and/or irrational: 5, −3, 7/2 and √5.
आसान हिंदी में:
5 natural number भी है, integer भी और rational भी। −3 integer और rational है। 7/2 rational है। √5 irrational है। एक number एक से अधिक sets में हो सकता है।
हिंदी में Step-by-Step Solution:
5 natural number भी है, integer भी और rational भी। −3 integer और rational है। 7/2 rational है। √5 irrational है। एक number एक से अधिक sets में हो सकता है।
✅ ऊपर दिए गए हिंदी steps के अनुसार answer निकालें और calculation को दोबारा check करें।
Important Question 33
Choosing the Correct Representation
A student says that every number on the real number line can be written as p/q. Is this statement correct? Explain with an example.
आसान हिंदी में:
यह statement गलत है। Real numbers में irrational numbers भी होते हैं। उदाहरण के लिए √2 real number है, लेकिन उसे p/q के रूप में नहीं लिखा जा सकता।
हिंदी में Step-by-Step Solution:
यह statement गलत है। Real numbers में irrational numbers भी होते हैं। उदाहरण के लिए √2 real number है, लेकिन उसे p/q के रूप में नहीं लिखा जा सकता।
✅ ऊपर दिए गए हिंदी steps के अनुसार answer निकालें और calculation को दोबारा check करें।
⭐ Quick Revision Challenge
Natural Numbers are the basic counting numbers.
Closure means the result stays inside the same set for the operation.
Zero works as both a number and a place-value placeholder.
Integers include negative numbers, zero and positive numbers.
A rational number is p/q with integers p, q and q ≠ 0.
Absolute value represents distance from zero.
There are infinitely many rational numbers between two distinct rational numbers.
Irrational numbers cannot be written as p/q.
√2 and π are irrational numbers.
Terminating and repeating decimals are rational.
A rational decimal terminates when its reduced denominator has only 2 and/or 5 as prime factors.
π is the circumference-to-diameter ratio of a circle.
142857 is the repeating block in 1/7.
Real numbers include rational and irrational numbers.
Imaginary numbers use i, where i² = −1.
Geometric constructions can represent square-root lengths on a number line.
📚 Study Resource
These important questions are based on the concepts covered in Class 9 Ganita Manjari Chapter 3.