The World of Numbers
• Class 9 Mathematics
• Ganita Manjari
Practice Mode:
पहले हर question खुद solve करने की कोशिश करें।
समझ न आए तो
🇮🇳 हिंदी में समझें
पर click करें।
उसके बाद
Solution देखें
से diagram, पूरा working और final answer check करें।
Total Questions:
16
Main Topics:
Decimal Expansion, Irrational Numbers, Number Line,
Rational Numbers Between Two Numbers, Algebraic Reasoning
और Square Root Spiral.
Question 1
Terminating and Repeating Decimals
Convert the following rational numbers into terminating decimal or non-terminating repeating decimal form by long division: (i) 3/50 (ii) 2/9.
हिंदी में समझें:
हर fraction को decimal में बदलना है। अगर decimal कुछ steps के बाद खत्म हो जाए तो terminating decimal और अगर digits का block बार-बार repeat हो तो repeating decimal कहलाता है।
Step-by-Step Solution:
Visual Help:
Diagram को देखकर concept, number position
और solution की direction समझें।
(i) 3/50 = 0.06. इसलिए यह terminating decimal है।
(ii) 2/9 = 0.2222… . इसमें 2 बार-बार repeat होता है, इसलिए यह non-terminating repeating decimal है।
✅ Final Answer:
(i) 0.06 (terminating) (ii) 0.2222… = 0.\overline{2} (repeating)
Exam Tip:
हर important step जरूर लिखें।
Rational-number questions में denominator,
simplification और sign को ध्यान से check करें।
Proof questions में Given → Identity/Reasoning → Conclusion
का flow रखें।
Question 2
Irrationality of √5
Prove that √5 is an irrational number.
हिंदी में समझें:
मान लेते हैं कि √5 rational है। तब इसे p/q के रूप में lowest form में लिख सकते हैं। Squaring करने पर contradiction प्राप्त होगा।
Step-by-Step Solution:
Visual Help:
Diagram को देखकर concept, number position
और solution की direction समझें।
मान लें √5 = p/q, जहाँ p और q coprime integers हैं और q ≠ 0.
Squaring:
5 = p²/q²
⇒ p² = 5q².
इससे p², और इसलिए p, 5 से divisible है। इसलिए p = 5k.
अब:
25k² = 5q²
⇒ q² = 5k².
अर्थात q भी 5 से divisible है। लेकिन p और q coprime थे। यह contradiction है।
इसलिए √5 rational नहीं हो सकता।
✅ Final Answer:
√5 is irrational.
Exam Tip:
हर important step जरूर लिखें।
Rational-number questions में denominator,
simplification और sign को ध्यान से check करें।
Proof questions में Given → Identity/Reasoning → Conclusion
का flow रखें।
Question 3
Decimal Numbers as p/q
Convert the following decimal numbers into the form p/q: (i) 0.375 (ii) 0.48 (iii) 0.125.
हिंदी में समझें:
Terminating decimal को 10, 100, 1000 आदि के denominator वाला fraction लिखकर simplify करें।
Step-by-Step Solution:
Visual Help:
Diagram को देखकर concept, number position
और solution की direction समझें।
Exam Tip:
हर important step जरूर लिखें।
Rational-number questions में denominator,
simplification और sign को ध्यान से check करें।
Proof questions में Given → Identity/Reasoning → Conclusion
का flow रखें।
Question 4
Locate Rational Numbers on the Number Line
Locate the following rational numbers on the number line: (i) 0.532 (ii) 1.1̅5 = 1.15555… .
हिंदी में समझें:
पहले number का position identify करें। 0.532, 0 और 1 के बीच है। 1.15555… , 1 और 2 के बीच है और 1.15 तथा 1.16 के बीच बहुत पास है।
Step-by-Step Solution:
Visual Help:
Diagram को देखकर concept, number position
और solution की direction समझें।
(i) 0.532 को 0 और 1 के बीच locate करें। पहले 0–1 को 10 equal parts में बाँटें, फिर required interval को बार-बार 10 equal parts में divide करके 0.532 तक पहुँचें.
(ii) 1.15555… , 1 और 2 के बीच है। पहले 1.1 और 1.2 के बीच रखें, फिर 1.15 और 1.16 के बीच. इसी तरह refinement करके point locate किया जाता है।
✅ Final Answer:
0.532 and 1.15555… are located between their respective neighbouring tenths/hundredths as shown.
Exam Tip:
हर important step जरूर लिखें।
Rational-number questions में denominator,
simplification और sign को ध्यान से check करें।
Proof questions में Given → Identity/Reasoning → Conclusion
का flow रखें।
Question 5
Six Rational Numbers Between 3 and 4
Find 6 rational numbers between 3 and 4.
हिंदी में समझें:
3 और 4 को ऐसे fractions में बदलें जिनके denominator में कम-से-कम 7 से ज्यादा positions मिलें।
Step-by-Step Solution:
Visual Help:
Diagram को देखकर concept, number position
और solution की direction समझें।
Multiply numerator and denominator by 7:
3 = 21/7 and 4 = 28/7.
इनके बीच के छह fractions हैं:
22/7, 23/7, 24/7, 25/7, 26/7, 27/7.
✅ Final Answer:
22/7, 23/7, 24/7, 25/7, 26/7, 27/7
Exam Tip:
हर important step जरूर लिखें।
Rational-number questions में denominator,
simplification और sign को ध्यान से check करें।
Proof questions में Given → Identity/Reasoning → Conclusion
का flow रखें।
Question 6
Five Rational Numbers Between 2/5 and 3/5
Find 5 rational numbers between 2/5 and 3/5.
हिंदी में समझें:
दोनों fractions को denominator 30 में लिखने से उनके बीच पर्याप्त integer numerators मिल जाते हैं।
Step-by-Step Solution:
Visual Help:
Diagram को देखकर concept, number position
और solution की direction समझें।
Multiply numerator and denominator by 6:
2/5 = 12/30
3/5 = 18/30.
अब इनके बीच के पाँच fractions:
13/30, 14/30, 15/30, 16/30, 17/30.
Simplified forms भी लिख सकते हैं:
13/30, 7/15, 1/2, 8/15, 17/30.
✅ Final Answer:
13/30, 7/15, 1/2, 8/15, 17/30
Exam Tip:
हर important step जरूर लिखें।
Rational-number questions में denominator,
simplification और sign को ध्यान से check करें।
Proof questions में Given → Identity/Reasoning → Conclusion
का flow रखें।
Question 7
Five Rational Numbers Between 1/6 and 2/5
Find 5 rational numbers between 1/6 and 2/5.
हिंदी में समझें:
LCM(6,5) = 30 लेकर दोनों fractions को common denominator में बदलें।
Step-by-Step Solution:
Visual Help:
Diagram को देखकर concept, number position
और solution की direction समझें।
1/6 = 5/30
2/5 = 12/30.
इनके बीच के पाँच fractions हैं:
6/30, 7/30, 8/30, 9/30, 10/30.
Simplifying gives:
1/5, 7/30, 4/15, 3/10, 1/3.
✅ Final Answer:
1/5, 7/30, 4/15, 3/10, 1/3
Exam Tip:
हर important step जरूर लिखें।
Rational-number questions में denominator,
simplification और sign को ध्यान से check करें।
Proof questions में Given → Identity/Reasoning → Conclusion
का flow रखें।
Question 8
Find the Rational Number x
If x/3 + x/5 = 16/15, find the rational number x.
हिंदी में समझें:
पहले 3 और 5 का LCM 15 लें। दोनों fractions को denominator 15 में बदलें।
Step-by-Step Solution:
Visual Help:
Diagram को देखकर concept, number position
और solution की direction समझें।
Exam Tip:
हर important step जरूर लिखें।
Rational-number questions में denominator,
simplification और sign को ध्यान से check करें।
Proof questions में Given → Identity/Reasoning → Conclusion
का flow रखें।
Question 9
Sign of ab
Let a and b be two non-zero rational numbers such that a + 1/b = 0. Without assigning numerical values, determine whether ab is positive or negative.
हिंदी में समझें:
Equation से a को isolate करें और फिर b से multiply करें। इससे ab की exact value मिल जाएगी।
Step-by-Step Solution:
Visual Help:
Diagram को देखकर concept, number position
और solution की direction समझें।
a + 1/b = 0
⇒ a = −1/b.
Multiply by b:
ab = (−1/b) × b
⇒ ab = −1.
Since ab = −1, the product is negative.
✅ Final Answer:
ab is negative; in fact, ab = −1.
Exam Tip:
हर important step जरूर लिखें।
Rational-number questions में denominator,
simplification और sign को ध्यान से check करें।
Proof questions में Given → Identity/Reasoning → Conclusion
का flow रखें।
Question 10
Last Non-Zero Digit in 4th Decimal Place
A rational number has a terminating decimal expansion whose last non-zero digit occurs in the 4th decimal place. Show that it can be written as p/10⁴, where p is an integer not divisible by 10. Is its lowest-form denominator necessarily divisible by 2⁴ or 5⁴?
हिंदी में समझें:
4 decimal places होने के कारण number को denominator 10⁴ के साथ लिखा जा सकता है। अगर p, 10 से divisible होता तो decimal इससे पहले ही terminate हो जाता।
Step-by-Step Solution:
Visual Help:
Diagram को देखकर concept, number position
और solution की direction समझें।
A terminating decimal ending at the 4th decimal place has the form p/10⁴.
If p were divisible by 10, one zero could be cancelled and the last non-zero digit would occur earlier than the 4th place. Hence p is not divisible by 10.
Now 10⁴ = 2⁴ × 5⁴.
After reducing the fraction, at least one of 2⁴ or 5⁴ must remain in the denominator.
Example:
0.0625 = 625/10⁴ = 1/16 = 1/2⁴.
So the lowest-form denominator need not contain both; it is necessarily divisible by 2⁴ or 5⁴ (at least one).
✅ Final Answer:
Number = p/10⁴ with 10 ∤ p; lowest-form denominator is divisible by 2⁴ or 5⁴ (at least one).
Exam Tip:
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Rational-number questions में denominator,
simplification और sign को ध्यान से check करें।
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Question 11
Terminating Decimal Test
Without performing division, determine whether 18/125 has a terminating or non-terminating decimal expansion. If it terminates, state the number of decimal places.
हिंदी में समझें:
125 = 5³ है। Denominator में केवल 5 है, इसलिए decimal terminating होगा।
Step-by-Step Solution:
Visual Help:
Diagram को देखकर concept, number position
और solution की direction समझें।
125 = 5³.
Since denominator has only factor 5, decimal expansion terminates.
Multiply numerator and denominator by 2³ = 8:
18/125 = 144/1000 = 0.144.
Therefore the decimal has 3 decimal places.
✅ Final Answer:
0.144; terminating decimal with 3 decimal places.
Exam Tip:
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Question 12
Number of Decimal Places
A rational number in lowest form has denominator 2³ × 5. How many decimal places will its decimal expansion have?
हिंदी में समझें:
Terminating decimal में denominator के 2 और 5 के powers compare किए जाते हैं। Maximum power decimal places की संख्या देता है।
Step-by-Step Solution:
Visual Help:
Diagram को देखकर concept, number position
और solution की direction समझें।
Denominator = 2³ × 5¹.
The number of decimal places is max(3,1) = 3.
To see this directly, multiply numerator and denominator by 5²:
p/(2³×5) = 25p/1000.
Hence the decimal has 3 places.
✅ Final Answer:
3 decimal places
Exam Tip:
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Question 13
Five Rational Numbers Between 7/12 and 5/6
Let a = 7/12 and b = 5/6. Express both with a common denominator m so that k₂ − k₁ > 6. Then write exactly five distinct rational numbers between them using the same denominator.
हिंदी में समझें:
पहले common denominator 12 लेने पर numerator gap केवल 3 मिलता है, जो पाँच numbers के लिए पर्याप्त नहीं है। इसलिए denominator को 36 तक बढ़ाते हैं।
Step-by-Step Solution:
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Diagram को देखकर concept, number position
और solution की direction समझें।
Take m = 36.
a = 7/12 = 21/36
b = 5/6 = 30/36.
Now k₂ − k₁ = 30 − 21 = 9 > 6.
Five rational numbers between them are:
22/36, 23/36, 24/36, 25/36, 26/36.
For n numbers, there must be enough integers strictly between k₁ and k₂. The number of such integers is k₂ − k₁ − 1. So we need k₂ − k₁ ≥ n + 1; taking > n + 1 gives extra room.
✅ Final Answer:
22/36, 23/36, 24/36, 25/36, 26/36
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Question 14
Three Rational Numbers x, y, z
Three rational numbers x, y, z satisfy x + y + z = 0 and xy + yz + zx = 0. Show that x, y and z must all be zero.
हिंदी में समझें:
Given equations को identity (x+y+z)² = x²+y²+z²+2(xy+yz+zx) में substitute करें।
Step-by-Step Solution:
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Diagram को देखकर concept, number position
और solution की direction समझें।
(x+y+z)² = x²+y²+z² + 2(xy+yz+zx).
Given x+y+z = 0 and xy+yz+zx = 0.
Therefore:
0 = x² + y² + z².
Squares of rational numbers are non-negative. A sum of three non-negative numbers can be zero only when each is zero.
Thus x² = y² = z² = 0,
so x = y = z = 0.
✅ Final Answer:
x = 0, y = 0, z = 0
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Question 15
Average Lies Between Two Rational Numbers
Show that the rational number (a + b)/2 lies between the rational numbers a and b.
हिंदी में समझें:
मान लें a < b. हमें prove करना है कि a < (a+b)/2 < b.
Step-by-Step Solution:
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Diagram को देखकर concept, number position
और solution की direction समझें।
Since a < b,
(a+b)/2 − a = (b−a)/2 > 0.
Therefore (a+b)/2 > a.
Also:
b − (a+b)/2 = (b−a)/2 > 0.
Therefore (a+b)/2 < b.
Combining both:
a < (a+b)/2 < b.
✅ Final Answer:
a < (a+b)/2 < b
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Rational-number questions में denominator,
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Proof questions में Given → Identity/Reasoning → Conclusion
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Question 16
Square Root Spiral
Find the lengths of the hypotenuses of all the right triangles in Fig. 3.14, the square root spiral.
हिंदी में समझें:
हर अगला right triangle पिछले hypotenuse को एक leg और 1 unit को दूसरा leg मानकर बनाया जाता है। Pythagoras theorem से अगली square-root length मिलती है।
Step-by-Step Solution:
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Diagram को देखकर concept, number position
और solution की direction समझें।
Triangle 1: legs 1 and 1.
h₁ = √(1²+1²) = √2.
Triangle 2: legs √2 and 1.
h₂ = √(2+1) = √3.
Triangle 3: legs √3 and 1.
h₃ = √4 = 2.
Triangle 4: legs 2 and 1.
h₄ = √5.
Triangle 5: h₅ = √6.
Triangle 6: h₆ = √7.
Triangle 7: h₇ = √8.
Triangle 8: h₈ = √9 = 3.
Triangle 9: h₉ = √10.
Triangle 10: h₁₀ = √11.
In general, nth hypotenuse = √(n+1).
✅ Final Answer:
√2, √3, 2, √5, √6, √7, √8, 3, √10, √11
Exam Tip:
हर important step जरूर लिखें।
Rational-number questions में denominator,
simplification और sign को ध्यान से check करें।
Proof questions में Given → Identity/Reasoning → Conclusion
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