Class 9 Mathematics • Ganita Manjari • Chapter 2 — Introduction to Linear Polynomials
ये notes Chapter 2 के पूरे flow को आसान language में समझने के लिए बनाए गए हैं।
Chapter की शुरुआत algebraic expressions से होती है, फिर one-variable polynomials और degree को समझाया जाता है। इसके बाद linear polynomials, linear patterns, growth and decay, linear relationships और graphs आते हैं।
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Algebraic expressions numbers, variables और mathematical operations की मदद से बनाए जाते हैं।
किसी unknown या बदलने वाली quantity को represent करने के लिए letters का उपयोग किया जाता है। इन्हें variables कहते हैं।
अगर red boxes में 4 pens और blue boxes में 5 pencils हों, और x red boxes तथा y blue boxes हों, तो total expression में 4x और 5y जैसे terms आ सकते हैं।
Algebraic expression के अलग-अलग parts को terms कहते हैं।
Variable के साथ multiply होने वाले numerical factor को coefficient कहते हैं।
जिस term में variable नहीं होता, वह constant term कहलाता है।
यहाँ 4 constant है।
इस chapter में आगे discussion मुख्य रूप से one-variable algebraic expressions पर किया जाता है। :contentReference[oaicite:2]{index=2}
एक variable और उसकी whole-number powers से बने algebraic expressions को one-variable polynomials या univariate polynomials कहा जाता है।
Polynomial में variable की सबसे बड़ी power उसकी degree होती है।
| Polynomial | Highest Power | Type |
|---|---|---|
| 8 | 0 | Constant polynomial |
| 3z + 7 | 1 | Linear polynomial |
| x² + 5x + 1 | 2 | Quadratic polynomial |
| 5y³ + y² + 2y − 1 | 3 | Cubic polynomial |
Degree निकालते समय coefficient को नहीं, variable की highest power को देखो।
Degree 1 वाला polynomial linear polynomial कहलाता है।
Chapter में linear polynomial को real-life situations और constant change के examples से समझाया गया है।
यदि square की side x हो, तो perimeter:
यह x में linear polynomial है।
Chapter में एक chess club का example दिया गया है जिसमें joining fee fixed है और हर match के लिए एक fixed extra amount लिया जाता है।
जहाँ m played matches को represent करता है।
हर additional match पर amount में same fixed amount ₹50 की increase होती है। यही linear pattern की important पहचान है।
जब linear polynomial को किसी constant के बराबर किया जाता है, तो linear equation मिलती है।
दो numbers का sum 64 है और एक number दूसरे से 10 अधिक है।
Smaller number = x
Larger number = x + 10
Numbers are 27 and 37.
Chapter linear polynomial को input-output process की तरह भी समझाता है।
यदि x = 4:
इसलिए input 4 का output 11 है।
Linear pattern में consecutive terms के बीच difference एक constant value रहता है।
यहाँ हर बार difference:
Chapter में growing square-tile pattern दिया गया है। उसमें stages के साथ squares की संख्या बढ़ती है:
| Stage | Square Tiles |
|---|---|
| 1 | 1 |
| 2 | 3 |
| 3 | 5 |
| 4 | 7 |
| 5 | 9 |
इस pattern का nth-stage rule है:
Consecutive values का constant difference linear pattern की key पहचान है।
Chapter में pocket money और daily spending जैसे examples के माध्यम से भी linear pattern समझाया गया है।
यहाँ हर दिन amount ₹5 से घटती है।
Chapter में initial 2 km के लिए fare ₹25 और उसके बाद हर additional kilometre पर ₹15 की increase का example है।
अर्थात n ≥ 2 के लिए:
जब equal intervals में कोई quantity एक fixed amount से बढ़ती है, तो उसे linear growth कहते हैं।
Journey की cost:
हर अतिरिक्त kilometre पर cost ₹60 बढ़ती है।
जब equal intervals में कोई quantity एक fixed amount से घटती है, तो उसे linear decay कहते हैं।
Cylindrical tank में water height:
हर month water height 0.5 m से घटती है।
| Growth | Decay |
|---|---|
| Quantity increases | Quantity decreases |
| Fixed positive change | Fixed negative change |
| Positive slope | Negative slope |
दो variables x और y के बीच linear relationship को इस standard form में लिखा जा सकता है:
a line की slope या constant rate of change को represent करता है।
b y-intercept को represent करता है।
एक telecom company fixed fee और data-use के आधार पर bill लेती है।
10 GB पर bill = ₹350
20 GB पर bill = ₹550
दोनों equations solve करने पर:
Linear relationship को coordinate plane पर straight line के रूप में plot किया जा सकता है।
| x | y = 2x + 1 | Point |
|---|---|---|
| 0 | 1 | (0, 1) |
| 3 | 7 | (3, 7) |
इन points को coordinate plane पर plot करके straight line बनाई जाती है। :contentReference[oaicite:3]{index=3}
जब b = 0 होता है:
ऐसी line हमेशा origin (0, 0) से गुजरती है।
a slope को represent करता है।
y = ax + b में line y-axis को point (0, b) पर काटती है।
y = x + 3
इसलिए y-axis पर point = (0, 3)
y = 3x − 2
इसलिए y-axis पर point = (0, −2)
अगर a same है लेकिन b अलग है, तो lines parallel रहती हैं।
Linear pattern में constant difference दिखाई देता है; उसी constant rate को graph में slope के रूप में देखा जा सकता है।
इन notes का chapter structure और core concepts Class 9 Ganita Manjari Chapter 2 पर आधारित हैं।
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